Distribusi Poisson

Salah satu sebaran atau distribusi diskrit yang sangat bermanfaat adalah sebaran poisson. Sebaran ini dapat dipandang sebagai penghampir sebaran binomial atau bentuk batas dari sebaran binomial. Poisson dapat juga didekati sesuai dengan sebaran itu sendiri dengan pertimbangan proses poisson.

Distribusi poisson merupakan distribusi diskrit yang mengestimasi probabilitas munculnya suatu keluaran dalam suatu standar unit tertentu sebanyak x kali. Rata-rata kemunculan keluaran tersebut per unitnya konstan sebesar standar unit ini dapat berupa interval waktu (menit, detik, hari, dan bulan) atau luas daerah tertentu (walpole, 1982). Contoh penerapannya adalah jumlah deringan telepon per jam di suatu kantor, jumlah goresan atau cacat dari suatu permukaan produk, jumlah bakteri dalam suatu kultur, dan kesalahan sambung pada nomor telepon.

Karakteristik distribusi poisson yaitu terdiri dari n buah percobaan yang saling bebas. Ukuran n yang sangat besar dalam setiap percobaan hanya satu hasil saja yang dijadikan titik pengamatan, probabilitas terjadinya suatu hasil sukses konstan untuk setiap percobaan dan besarnya proposional terhadap selang waktu atau luas daerahnya, dan probabilitas terjadinya keluaran lebih dari satu dalam suatu selang waktu atau interval yang sangat sempit dapat diabaikan.

Distribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa Perancis. Distribusi poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variabel random (variabel acak) diskret.
Distibusi poisson merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskret acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dan seterusnya. Distribusi poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskret), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. Fungsi probabilitas diskret yang sangat penting dalam beberapa aplikasi praktis. Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan dapat menjelaskan dengan sangat memuaskan terhadap probabilitas binomial b(X│n.p) untuk X= 1,2,3 …n. Suatu kejadian dimana n sangat besar (lebih besar dari 50) sedangkan probabilitas sukses (p) sangat kecil seperti 0,1 atau kurang, maka nilai binomialnya sangat sulit dicari. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan distribusi poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.

Ciri-ciri percobaan poisson adalah sebagai berikut.

1) Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

2) Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

3) Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah kecil tersebut, dapat diabaikan.

Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal sebagai berikut.

1) Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, saeperti menghitung probabilitas dari kemungkinan kesalahan pemasukan data atau kemungkinan cek ditolak oleh bank. Jumlah pelanggan yang harus antri pada pelayanan rumah sakit, restaurant cepat saji atau antrian yang panjang bila ke ancol. Semua contoh ini merupakan beberapa hal yang menggambarkan tentang suatu distribusi poisson.

2) Menghitung distribusi binomial apabila nilai n besar (n ≥ 30) dan p kecil (p<0,1). Jika kita menghitung sejumlah benda acak dalam suatu daerah tertentu T, maka proses penghitungan ini dilakukan sebagai berikut.

a. Jumlah rata-rata benda di daerah S T adalah sebanding terhadap ukuran S, yaitu ECount(S)= λ S, di sini melambangkan ukuran S, yaitu panjang, luas, volume, dan lain-lain. Parameter λ > 0 menggambarkankan intensitas proses.

b. Menghitung di daerah terpisah adalah bebas.

c. Kesempatan untuk mengamati lebih dari satu benda di dalam suatu daerah kecil adalah sangat kecil, yaitu P(Count(S)2) menjadi kecil ketika ukuran menjadi kecil.

Distribusi poisson sebagai pendekatan dari distribusi binomial.

Uraian ini akan diarahkan pada pembuktian bahwa distribusi poisson sebagai pendekatan dari distribusi binomial. Distribusi poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa poisson lebih dari satu.

Menggunakan tabel untuk distribusi poisson yaitu untuk membantu memperoleh dengan cepat nilai probabilitas distribusi poisson, tabel hasil distribusi poisson akan sangat membantu. Penggunaan tabel distribusi poisson menghendaki pengetahuan nilai tengah rata-rata hitung (µ= n.p) dan jumlah sukses X. Pada baris dapat dilihat nilai µ dan pada kolom dapat dilihat nilai X. Nilai rata-rata harapan (expected value) dan varian dari suatu fungsi distribusi poisson adalah sama, yaitu.

............................................(2.12)

Percobaan distribusi poisson adalah percobaan yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu. Selang waktu tertentu dapat berupa sedetik, semenit, sejam, sehari, seminggu maupun sebulan. Daerah tertentu dapat berupa satu meter, satu kilometer persegi dan lain-lain.

Distribusi peluang peubah acak poisson X yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh x = 0,1,2, … µ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tersebut dan e = 2,71828

Persoalan menyelesaikan distribusi poisson kita dapat menggunakan tabel statistik dengan jumlah peluang poisson untuk beberapa nilai tertentu dengan µ dari 0, 1 sampai 18.

1) Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; µ) keduanya sama dengan µ.

2) Bila n besar dan p dekat dengan nol, distribusi poisson dapat digunakan, dengan µ = np, untuk menghampiri peluang binomial.

3) Bila p dekat dengan 1, distribusi poisson masih dapat dipakai untuk menghampiri peluang binomial dengan mempertukarkan apa uang telah dinamai dengan sukses dan gagal, jadi dengan mengganti p dengan suatu nilai yang dekat dengan nol.

Pendekatan Peluang poisson untuk peluang binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < 0.01) dengan terlebih dahulu menetapkan p dan kemudian menetapkan μ = n * p. Distribusi poisson juga untuk menghitung probabilitas timbulnya gejala yang diharapkan (gejala “sukses”) dari sejumlah n kejadian atau sampel, tetapi untuk kasus yang ”n”-nya besar dan ”π”-nya sangat kecil.

Perhitungan distribusi binomial dapat didekati dengan menggunakan distribusi poisson. Distribusi binomial dengan populasi yang cutup besar (N) dan peluang terjadinya suatu kejadian yang dimaksud p cukup kecil, sehingga q = 1-p mendekati 1, maka kejadian itu disebut suatu kejadian langka ( rare event ).

Fungsi kepekatan peluangnya,